戯言を

戯言を。
数学と算術の違いは、抽象化の程度にあるんじゃないだろうか。
数学では、数値の抽象化として、数値を返す、関数を考えることが多い。で、その関数の抽象化として、関数を返す高階の関数を、と来る。また、逆に、関数に数値を対応させるタイプの抽象化もある。積分とか。いわゆる、双対空間とか。でも、双対の場合は、もう一回取ると、自然な埋め込みで元の空間に戻るので、こっちの方向の抽象化は、実質、ここで終わる。
こういう抽象化のためには、元の数値の集まりに、何らかの構造が必要になる。まとめて考えるための、枠組みと言ってもいい。
または、数値やその他のまとまりに働きかける、操作、を考えてもいい。
操作に対しての操作、というのもある。ある値を出す操作の全体を調べるとか。
構造と、操作というものを考えると、お互いに相手を必要としている、相手から作り出せるような関係に思える。双対と類似の関係に。
色々あるが、また今度。